图1是最少拍控制系统结构图,其中H0(s)为零阶保持器，GP(s)为被控对象，D(z)即为待设计的最少拍控制器。 图1 最少拍随动系统框图定义广义被控对象的脉冲传递函数为  这里，广义被控对象的脉冲传递函数在z平面单位圆上及单位圆外没有极点，且不含有纯滞后环节。 闭环脉冲传递函数为  (1)误差脉冲传递函数  (2)则有  (3)根据式(2)知  (4)将其展开如下形式：  (5)根据最少拍控制器的设计准则，系统输出应在有限拍N拍内跟踪上系统输入，即i≥N之后，e(i)=0，也就是说，E(z)只有有限项。 由式(4)可知，E(z)与系统特性Φe(z)及输入信号R(z)有关。因此，在不同输入信号R(z)作用下，本着使E(z)项数最少的原则，选择合适的Φe(z)，即可设计出最少拍无差系统控制器。 常见的典型输入信号有： 单位阶跃输入  单位速度输入  单位加速度输入  单位重加速度输入  …… 一般地，典型输入信号的z变换具有如下形式：  (6)式中，A(z-1)是不包含(1-z-1)因式的z-1的多项式。 将式(6)代入式(4),得到  （7）因此，从准确性要求来看，为使系统对式(6)的典型输入无稳态误差，Φe(z)应具有的一般形式为： (8) 式中，F(z-1)是不含(1-z-1)因式的z-1的有限多项式。选择合适的Φe(z)就是选择合适的p及F(z-1)。式(8)及式(3)是设计最少拍控制系统的一般公式。 为使要设计的数字控制器形式最简单、阶数最低，应取F(z-1)=1，这样E(z)中关于z-1的项数才会最少。下面分别讨论不同输入下的情况。 (1) 单位阶跃输入  为使E(z)项数最少，选择Φe(z)=1-z-1，即p=1，F(z-1)=1，使Φe(z)具有最简形式，则  由z变换定义可知e(t)为单位脉冲函数，即  也就是说，系统经过1拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化,即此时系统的调节时间ts=T，T为系统采样时间。误差及输出系列如图2所示。  图2 单位阶跃输时的误差及输出序列 (2) 单位速度输入  由式(7)易知，选择p=2, F(z-1)=1, 则Φe(z)=(1-z-1)2，可使E(z)具有最简形式：  则e(0)=0,e(T)=T,e(2T)=e(3T)=e(4T)=…=0 即系统经过2拍，输出无差地跟踪上输入，系统的调节时间ts=2T。误差及输出序列如图3所示。  图3 单位速度输入时的误差及输出序列 (3) 单位加速度输入  由式(7)可知，选择p=3，F(z-1)=1，即φe(z)=(1-z-1)3，可使E(z)有最简形式：  也就是说，经过3拍，系统的输出可以无差地跟踪上输入,即系统调节时间ts=3T。误差及输出序列如图4所示。  图4 单位加速度输入时的误差及输出序列 由上面讨论可以看出，最少拍控制器设计时，Φe(z)或Φ(z)的选取与典型输入信号的形式密切相关，即对于不同的输入R(z)，要求使用不同的闭环脉冲传递函数。所以这样设计出的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差。若运行时的输入信号与设计时的输入信号形式不一致，将得不到期望的最佳性能。 例如，当Φ(z)是按单位速度输入信号设计时，有  从前面讨论可知，系统输出经2拍在采样点处无差地跟踪上输入。 保持按此选择设计的D(z)不变，对应另两种典型输入时的输出如下： 阶跃输入：  单位加速度输入：  响应曲线如图5所示。  图5 按单位速度输入设计的最少拍系统的响应序列 |
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