PID控制器的改进算法

　　(1) 积分饱和作用及其抑制
　　无论采用何种计算方法，其控制输出从数学上讲可在(-∞,+∞)范围内取值，但物理执行元件的机械和物理性能是有约束的，即输入u(t)的取值是在有限范围内，表示为u_min≤u≤u_max，同时其变化率也受限制，表示为。
　　控制系统在启动、停止或者大幅度提降给定值等情况下，系统输出会出现较大的偏差，这种较大偏差，不可能在短时间内消除，经过积分项累积后，可能会使控制量u(k)很大，甚至超过执行机构的极限u_max。另外，当负误差的绝对值较大时，也会出现u<u_min的另一种极端情况。显然，当控制量超过执行机构极限时，控制作用必然不如应有的计算值理想，从而影响控制效果。这类现象在给定值突变时容易发生，而且在起动时特别明显，故称“起动效应”。下面以给定值突变为例说明这个问题。
　　
　　　　　　　图5.12 PID算法的积分饱和现象
　　假设给定值从0突变到r*。首先假定执行机构不存在极限，则当有r*突变量时，产生很大的偏差e，根据位置算式算出的控制量u很大，输出量y因此很快上升。然而在相当一段时间内，由于e保持较大，因此控制量u保持上升。只有当e减小到某个值时，u才不再增加，然后开始下降。当y等于r*时，由于控制作用u很大，所以输出量继续上升，使输出出现超调，e变负，于是使积分项减少，u因此下降较快。当y下降到小于r*时，偏差又变正，于是u又有所回升。之后，由于y趋向稳定，因此u趋向u0。但是在实际控制过程中，执行机构是存在极限的，即当u>u_max只能取u_max。在u_max作用下，系统输出将上升，但不及在计算值u作用下迅速，从而使e在较长时间内保持较大的正值，于是又使积分项有很大的积累值。当输出达到设定值后，控制作用使它继续上升，之后，e变负，∑ei不断减小，可是由于前面积累得太多，只有经过相当长的时间τ后，才能使u<u_max，而使系统回到正常的控制状态。可见，由于积分项的存在，引起了PID运算的“饱和”，一般称为“积分饱和”现象，如图5.12所示，其中曲线a是执行机构不存在极限时的输出响应y（t）和控制作用u(t)；曲线b是存在u_max时对应的响应曲线，u(t)的虚线部分是u的计算值。
　　为了克服积分饱和作用，目前已提出了许多有效的修正算法，这里简要介绍常用的一种——积分分离法。
　　减小积分饱和的关键在于不能使积分项累积过大。因此当偏差大于某个规定的门限值时，删除积分作用，PID控制器相当于一个PD调节器，既可以加快系统的响应又可以消除积分饱和现象，不致使系统产生过大的超调和振荡。只有当误差e在门限 之内时，加入积分控制，相当于PID控制器，则可消除静差，提高控制精度。
　　积分分离的控制规律为
　　　　　　　（5.36）
　　其中为设置的门限。
　　该算法不增加运算量，程序仅进行简单的逻辑判断，计算机实现方便。门限可以根据设计指标确定或通过试验调整确定。
　　积分分离PID控制算法程序设计：根据式(5.36)所描述的控制算法进行编程，程序框图如图5.13所示。
　　　　　
　　　　　　　　图5.13 积分分离法的PID位置算法
　　(2) PID增量算法的饱和作用及其抑制
　　在PID增量算法中，由于执行元件本身是机械或物理的积分储存单元，在算法中不出现累加和式，所以不会发生位置算法那样的累积效应，这样就直接避免了导致大幅度超调的积分饱和效应。这是增量算法相对于位置算法的一个优点。但是，在增量算法中，却有可能出现比例及微分饱和现象。下面简要介绍这类饱和对控制的影响以及相应的改进办法。
　　当给定值发生很大跃变时，在PID增量控制算法中的比例部分和微分部分计算出的控制增量可能比较大(由于积分项的系数一般小得多，所以积分部分的增量相对比较小)。如果该计算值超过了执行元件所允许的最大限度，那么，控制作用必然不如应有的计算值理想，其中计算值的多余信息没有执行就遗失了，从而影响控制效果。图5.14给出了这种情况下系统的动态特性曲线，其中(a)为执行机构无输出限制的控制结果；(b)和(c)为控制量及其变化受限制的比例和微分饱和结果；显然，比例和微分饱和对系统影响的表现形式与积分饱和是不同的，从控制结果上看不是引起超调，而是减慢动态过程。
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　图5.14 PID增量算法的比例与微分饱和现象
　　抑制比例和微分饱和的办法之一是用“积分补偿法”。其中心思想是将那些因饱和而未能执行的增量信息积累起来，一旦有可能再补充执行。这样，动态过程也得到了加速。即，一旦△u超限，则多余的未执行的控制增量将存储在累加器中；当控制量脱离了饱和区，则累加器中的量将全部或部分地加到计算出的控制增量上，以补充由于限制而未能执行的控制。
　　值得一提的是，使用积累补偿法虽然可以抑制比例和微分饱和，但由于引入了累加器具有积分作用，使得增量算法中也可能出现积分饱和现象。为了抑制这种可能，在每次计算积分时，应判断其符号是否继续增大累加器的积累。如果增大，则将积分项略去，即使累加器数值积累不致过大，从而避免积分饱和现象。
　　(3) 干扰的抑制
　　PID控制算法的输入量是误差e。在进入正常调节后，由于输出y已接近输入r，e的值不会太大。所以相对而言，干扰值的引入将对调节有较大的影响。对于干扰，除了采用抗干扰措施，进行硬件和软件滤波之外，还可以通过对PID控制算法进行改进，以进一步克服干扰的影响。
　　数字PID算法是对模拟PID控制的近似，其中用和式代替了积分项，用差分代替了微分项。在各项中，差分(特别是二阶差分)项对数据误差和干扰特别敏感，即一旦出现干扰，有差分项的计算结果有可能出现不期望的大的控制量变化。因此在数字PID控制中，干扰主要是通过微分项引起。但微分成分在PID算法中很重要 ，因此不能简单地将微分项部分去掉。通常是用四点中心差分法，对微分项进行改进，降低其对干扰的敏感程度。
　　在四点中心差分法中，一方面将TD/T取得略小于理想情况；另一方面，在组成差分时，不是直接引用现时偏差ei，而是用过去四个时刻的偏差平均值作基准，即：
　　　　　　(5.37)
　　通过加权平均近似微分项
　　　　　　　(5.38)
　　整理后，得
　 　　　　　　(5.39)
　　上式代入式(5.20)中的微分项，就得到修正后的PID位置算式：
　　　　　　　(5.40)
　　同理，可得修正后的PID增量算式，即
　　　　(5.41)
　　(4) PID算式中微分项的改进
　　微分作用有助于控制系统减小超调，克服振荡，使系统趋于稳定，同时加快系统动作速度，减小调整时间，有助于改善系统的动态性能。但对于标准的数字PID，其微分作用与连续PID存在不同之处，具体分析如下：
　　由式(5.20)所示的标准PID位置算式得出微分部分的输出与偏差的关系：
　　
　　对应z变换为
　　
　　当e(t)为单位阶跃输入时，，此时微分项输出为
　　
　　上式表明微分控制作用只体现在误差信号发生瞬变的第一个采样周期内，从第二个采样周期开始，微分部分输出变为零。而在连续控制系统中，PID控制器的微分部分能在较长时间内起作用，如图5.15所示。为此改进的PID应使微分控制作用延续几个采样周期，加强微分对全过程的控制。工程上一般采用加入惯性环节的不完全微分数字控制器，它不仅可以平滑微分产生的瞬时脉动，而且能加强微分对全过程的影响。下面介绍不完全微分数字控制器的推倒过程和控制算式。
　　一阶惯性环节的传递函数为
　　　 　　　（5.42）
　　标准PID控制器的传递函数为
　　　　　（5.43）
　　由式(5.42)和式(5.43)得到不完全微分的PID调节规律
　　　　　　(5.44)
　　设：
　　
　　整理式(5.44)得到不完全微分的PID算式：
　　　　　　(5.45)
　　式中为微分增益。根据式(5.45)，不完全微分控制器可以看成由几个环节组成，如图5.16所示。下面分别分析每个环节的算法。
　　
　　　　1．数字PID 2. 连续PID
　　　　图5.15 两种PID控制器微分作用效果比较 　　　图5.16 不完全微分控制器
　　① 微分部分
　　微分部分的传递函数为对于比较小的采样周期，采用后向差分等效离散化方法可得上式的差分方程
　　　　　　　(5.46)
　　② 积分部分
　　积分部分的输入为微分部分的输出M(s)，积分部分的输出为V(s)，则该部分对应的传递函数为
　　
　　化成微分方程并用后向差分法离散化，得到差分方程
　　　　　　　(5.47)
　　③ 比例部分
　　比例部分的表达式比较简单，即为微分部分的输出乘以K1。由式(5.46)得到比例部分的输出为
　　
　　④ 不完全微分数字控制器的输出由式(5.46)和式(5.47)有
　　　　　　　　(5.48)
　　图5.17给出了完全微分型PID和不完全微分型PID算式的控制作用比较。在误差e(t)发生阶跃变化时，完全微分作用只在扰动发生的一个周期起作用，而不完全微分作用按指数规律逐渐衰减到零，可以延续几个时钟周期。从图5.17可以看出，在改善系统动态性能方面，不完全微分的PID算式效果较好。因此在控制质量要求较高的场合，常采用不完全微分的PID算法。
　　
　　　　　　　　　　　　　图5.17 两种微分作用的比较