逆z变换

　　所谓逆z变换，是已知z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)的过程。常用的逆z变换法有如下三种：部分分式展开法；幂级数展开法(长除法)；留数计算法。
　　1. 部分分式展开法
　　部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的F(z)，通过查z变换表找出相应的f(kT)。然而z变换表的内容有限，需要把F(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分为特征方程无重根和有重根两种情况。
　　(1) 特征方程无重根的情况
　　设已知的z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)/z展开成如下分式之和
　　 　　　　　　　(1)
　　其中A₀和A_i为f(z)/z在z_i处的留数，即，再由上式写出F(z)的部分分式之和
　　 　　　　　　　(2)
　　然后逐项查z变换表，得到
　　 　　　　　　　　(3)
　　最后写出已知F(z)对应的采样函数
　　 　　　　　　　(4)
　　〖例1〗 求的反变换。
　　解：由于
　　故有
　　即
　　(2) 特征方程有重根的情况
　　这里用一个例子描述z变换函数F(z)有重极点的求解步骤。
　　〖例2〗 求的反变换。
　　解：F(z)的特征方程为，所以特征方程有两重根。
　　设
　　其中A,B为
　　

　　所以有
　　由于在表中查不到上式第一项的逆z变换，故将上式两边都乘z^-1
　　
　　由于
　　(所以有，这是理解平移定理的一种方法，成对对应法)
　　故有
　　即
　　2. 幂级数展开法(长除法)
　　当z变换不能写成简单形式，或者逆z变换需要以数值序列f(kT)表示时，可以采用幂级数展开法。
　　由z变换的定义
　　 　　　　(5)
　　可以看出序列f(kT)值是上述幂级数中z^-k的系数，对于用有理函数表示的z变换，可以直接用分母去除分子，得到幂级数的展开形式，如果级数是收敛的，则级数中z^-k的系数就是f(kT)的值。在用长除法求系数时，F(z)的分子和分母都必须写成z^-1的升幂形式。
　　〖例3.6〗 求下式的逆z变换
　　
　　解：
　　长除格式
　　　　　　
　　由长除结果得
　　即
　　3. 留数计算法
　　实际遇到的z变换式F(z)，除了有理分式外，也可能有超越函数，此时用留数法求逆z变换比较合适。当然，这种方法对有理分式也适用。
　　设已知z变换函数F(z)，则可证明F(z)的逆z变换f(kT)值，可由下式计算
　　 　　　　　　　　(6)
　　式中是积分的闭合回线，它应包围的所有极点。设共有等m个极点，则根据柯西留数定理，上式也可写为
　　 　　　　　　　(7)
　　即f(kT)等于的全部极点的留数之和。
　　〖例3 〗设z变换函数
　　
　　试用留数法解其逆z变换。
　　解：因该函数有两个极点：1和0.5，先求出对这两个极点的留数
　　
　　则