一、 测量值的数学期望与标准差
随机误差的统计特性及减少方法 在测量中,随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的,比如外界条件(温度、湿度、气压、电源电压等)的微小波动,电磁场的干扰,大地轻微振动等。 多次测量,测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法,处理测量数据,从而减少随机误差对测量结果的影响。 1.数学期望 在相同条件下,用相同的仪器和方法,由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量,称为等精密度测量。 设对某一被测量x 进行测量次数为n的等精密度测量,得到的测量值xi(i=1,2,…,n)为随机变量。其算术平均值为(也称为样本平均值): , 当测量次数n→∞时,样本平均值 的极限称为测量值的数学期望: ,这里的Ex也称为总体平均值。 数学期望:反映其平均特性。其定义如下: X为离散型随机变量:; X为连续型随机变量: 。 2.算术平均值原理 (1)算术平均值的意义 当测量次数足够多时则近似认为,随机误差的数学期望等于0。即在仅有随机误差的情况下,当测量次数足够多时,测量值的平均值接近于真值。 则第i次测量得到的测得值xi与真值之间的绝对误差就等于随机误差, 随机误差的算术平均值: 在实际测量工作中,采用某些技术措施基本消除系统误差的影响,并且剔除粗大误差后,虽然有随机误差存在,但可以采用多次测量值的算术平均值作为最后的测量结果。 (2)剩余误差(又称残差) 各次测量值与其算术平均值之差,称为剩余误差。 对上式两边分别求和,有 上式表明:当n足够大时,残差得代数和等于零。 3.方差与标准差 方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量X的方差为X与其期望E(X)之差的平方的期望,记为D(X),即 例:两批电池的测量数据 1测量数据的分布曲线 可以看到两批电池的测量的平均数据相同,但是偏离平均值的结果是不同的,因此,只是期望不能表示出结果的差别,需要引入方差与标准差的概念。显然,第一批电池的测量数据的分散程度较第二批好,即第一批较第二批方差较小。 标准偏差定义为:, 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度,并且与随机变量具有相同量纲。 标准差反映了测量的精密度, 小表示精密度高,测得值集中,大表示精密度低,测得值分散。 二、贝塞尔公式及其应用 1.随机误差的正态分布
随机误差的概率密度函数为:, 三、均匀分布情况下的标准差 |
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GMT+8, 2021-12-6 21:19