数制与数制转换

2015-1-25 08:40| 编辑:电工学习网| 查看: 9091| 评论: 0

    数字电路经常遇到计数问题，人们在日常生活中，习惯于用十进制，而在数字系统中，例如在计算机中，多采用二进制，有时也采用八进制或十六进制。
    1.十进制
    (1)定义：所谓十进制就是以10为基数的计数体制。任何一个数都可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数码，按一定规律排列起来表示，其计数规律是“逢十进一”，即9+1=10，这右边的“0”为个位数，左边的“1”为十位数，也就是10=1·10¹＋0·10⁰。这样，每一数码处于不同的位置（数位）时，它所代表的数值不同，这个数值称为位权值。每个十进制数都可以用位权值表示，其中：个位的位权为10⁰，十位的位权为10¹，百位的位权为10²，依此类推。
    (2)方法：
    任意十进制数可表示为：

式中K_i为基数“10”的第i次幂的系数。
例1 试用位权来表示十进制数4567。
解：将数码与位权相乘，然后相加而得十进制数。

    从数字电路的角度来看，采用十进制是不方便的，因为构成数字电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来，而十进制的十个数码，必须有十个不同的而且能严格区分的电路状态与之对应起来，这样将在技术上带来许多困难，而且不经济，因而在数字电路中一般不直接采用十进制，而采用二进制。
    2. 二进制
    (1)定义：二进制就是以2为基数的计数体制。二进制与十进制的区别在于数码的个数和进位规律不同。二进制是用两个数码0和1表示，而且是“逢二进一”，即1+1=10（读为“壹零"），注意：这里的“10”与十进制数的“10”是完全不同的，它不代表“十”，右边的“0”表示0个2⁰，左边的“1”表示1个2¹，也就是10＝1×2¹＋0×2⁰，当二进制数的数位较多时，可按2的乘幂依次表示，如图1表示。

图1二进制数的位权图

(2)方法：根据十进制的表达式的描述方法可写出二进制的表示方法：

式中K_i为基数“2”的第i次幂的系数。使用这种方法，可将任意一个二进制数转换为十进制数。
例2 试将二进制数(01010110)_B转换为十进制数(B为Binary的字头)。
解：将每1位二进制数乘以位权，然后相加便得相应的十进制数。

(3)二进制数的波形表示：在数字电子技术和计算机的应用中，二值数据常用数字波形表示，这样数据比较直观，也便于使用电子示波器进行监视。图2表示一计数器的波形，图中左边列出了二进制数的位权（2⁰、2¹、2²、2³）以及最低位（LSB-Least Significant Bit）和最高位（MSB-Most Significant Bit），从左至右画出了每位数的波形，最后一行列出了从0到15的等效十进制数。

    图2 用二进制数表示0～15波形图
    从图2还可看出，每1位的波形均为对称方波，其占空比均为50％。
    (4)数据传输：如图3和图4所示，二进制数据从一处传输到另一处，可以采用串行方式或并行方式。对于串行方式，所需设备简单，只需一根导线和一共同接地端即可，每传送一位数据需要一个时钟周期，这种传输可以通过电话线在两台计算机之间进行二进制数据串行传输。如图3所示，其中图(a)表示二进制数据(00110110)在两台计算机之间串行传输。图(ｂ)表示在时钟脉冲CP的控制下，数据从最高位MSB到最低位LSB依次传输。注意:每位数据的传输时间即时钟脉冲的周期，而且在时钟脉冲的下降沿完成一位数据的传输。若要求传输速度快，则可采用并行传输的方式，如图4所示，它表示一台打印机从一台计算机以并行的方式读取数据，此时将8位数据同时传输，所需时间为一个时钟脉冲的周期，只是串行传输时间的八分之一，但也有不足之处，就是设备上的花费要多些，需用八条传输线和其他部件。并行传输在数字系统中是一种常用的技术。

图3 二进制数据的串行传输 (a)两台计算机之间的串行通信 (b)二进制数据的串行表示

    图4 并行传输数据的示意图(a)计算机与打印机之间的并行通信(b)二进制数据的并行表示
    (5)二进制的优点：
    (a)二进制的数字装置简单可靠，应用元件少；二进制只有两个数码0和1，因此，它的每一位都用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示，如BJT的饱和和截止，继电器接点的闭合和断开，灯泡的亮和不亮等。只要规定一种状态表示1，另一种状态表示0，就可以表示二进制数。这样，数码的存储、分析和传输，就可以用最简单而可靠的方式进行。
    (b)二进制的基本运算规则简单，运算操作方便。
    (6)二进制的缺点：用二进制表示一个数时，位数多，使用起来不方便也不习惯，因此在运算时，原始数据多用人们习惯的十进制，在送入计算机时，就必须将十进制数据转换成数字系统能接受的二进制数，而运算结束后再将二进制数转换为十进制数，表示最终结果。
    3. 八进制和十六进制
    由于使用二进制数位数很多，不便于书写和记忆，因此在数字计算机的资料中常采用十六进制数或八进制数来表示二进制数。上述十进制和二进制数的表示法可以推广到十六进制和八进制。例如十六进制数采用十六个数码，而且“逢十六进一”。这种数制中有十六个不同的数字：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(对应于十进制数中的10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)。它是以十六为基数的计数体制。
    十六进制数可表达如下：