图1所示是一RC串联电路。可分三种响应对其进行暂态分析。 1、零状态响应
所谓RC电路的零状态,是指换路前电容元件未储有能量,即 。在此条件下,由电源激励所产生的电路的响应,称为零状态响应。 在图1中,如果在t=0时将开关S合到位置1上,电路即与一恒定电压为U的电压源接通,对电容元件开始充电,其上电压为 。 根据基尔霍夫电压定律,列出 时电路的微分方程 (1) 上式的通解有两个部分:一个是特解 ,一个是补函数 。 特解取电路的稳态值,或称稳态分量,即
补函数是齐次微分方程
的通解,其形式为
代入上式,得特征方程
其根为
式中, ,它具有时间的量纲,所以称为RC电路的时间常数。 因此,式(1.37)的通解为
设换路前电容元件未储有能量,即初始值 ,则 ,于是得 (2) 其随时间的变化曲线如图2所示。 当 时 即从t=0经过一个τ的时间 增长到稳定值U的63.2%。 从理论上讲,电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是,由于指数曲线开始变化较快,而后逐渐缓慢。所以,实际上经t=5τ的时间,就足可认为达到稳定状态了。τ愈小,曲线的增长就愈快。 由式(2)也可求出 和 ,即 (3) (4) 2、零输入响应 所谓RC电路的零输入,是指无电源激励,输入信号为零。在此条件下,由电容元件的初始状态 所产生的电路的响应,称为零输入响应。 如果在图3中,当电容元件充电到 时,即将开关S从位置1合到2,脱离电源(输入为零),电容元件开始放电,稳态值 [初始值 ],则经求解可得 (5) 其随时间的变化曲线如图4所示。
当t=τ时
即从t=0经过一个τ的时间uC衰减到初始值 的36.8%。τ愈小,衰减愈快。 由式 (5)也可求出 (6) (7) 上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图1中所选定的参考方向相反。 3、全响应 如果在图5中,电容元件初始电压为 ,t=0时,将开关S从位置合到2,电路即进入全响应。
所谓RC电路的全响应,是指电源激励和电容元件的初始状态 均不为零时电路 的响应,也就是零状态响应与零输入响应两者的叠加。 (8) 由式 (8)可写出分析一阶线性电路暂态过程中任意变量的一般公式,即 (9) 只要求得初始值 、稳态值 和电路时间常数τ这三个“要素”,就能直接写出电路的响应(电压或电流)。这就是一阶线性电路暂态分析的三要素法。 |
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GMT+8, 2021-12-6 21:07