当电路的激励源为直流或正弦交流电源时,可用所述方法对电路进行分析计算。但是在实际电气系统中,却经常会遇到非正弦的激励源问题,例如电力系统的交流发电机所产生的电动势,其波形并非理想的正弦曲线,而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激励源电路,若电路中存在非线性器件时,也会产生非正弦的响应。在电子通信工程中,遇到的电信号大都为非正弦量,如常见的方波、三角波、脉冲波等,有些电信号甚至是非周期性的。
对于线性电路,周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量,然后用正弦交流电路相量分析方法,分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算,再由线性电路的叠加定理,把各分量叠加,得到非正弦周期信号激励下的响应。这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。 设周期函数的
如果函数 对于上述周期函数
或 式中, 或 展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量, 当 下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。 例1 图1所示为对称方波电压,其表达式可写为: 求此信号的傅里叶级数展开式。 图 1 解:根据傅里叶级数的系数推导公式,可得 由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为
在实际工程计算中,由于傅里叶级数展开为无穷级数,因此要根据级数展开后的收敛情况,电路频率特性及精度要求,来确定所取的项数。一般只要取前面几项主要谐波分量即可。例如对于上述方波展开的傅里叶级数表达式,当取不同项数合成时,其合成波形画于图6-1-2中。由图可见,当取谐波项数越多时,合成波形就越接近于原来的理想方波,与原波形偏差越小。 图 2 在对一些非正弦周期信号展开时,可根据函数的对称性质来确定展开式中的系数变化情况。如果函数为偶函数,
图 3 非正弦周期信号除了可以表示成上述三角函数形式的傅里叶级数展开式外,还可表示成指数形式的傅里叶级数形式。已知函数可展开成傅里叶级数 利用欧拉公式 可得: 因为
同时当
上式就是傅里叶级数复指数形式的表达式,它把一个周期信号
系数an、bn与傅里叶三角展开式中的系数一致。
例2 周期脉冲信号如图4a所示,求该信号的频谱函数 解:由波形图可知: 频谱函数为: 若 由上式可作出振幅频谱与相位频谱图,如图4b、c所示。
图 4 从振幅频谱图可看出,周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的,所有谱线都出现在基波频率 从频谱函数表达式中可看出,当脉冲重复周期增大时,基波频率 |
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GMT+8, 2021-12-6 21:08